(Página 152) Questão 16 - Encontre o limite. $\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {1-2x^2-x^4 }{5+x-3x^4}$

$$\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {1-2x^2-x^4 }{5+x-3x4}$$
$$\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {-x^4 }{-3x^4}$$
$$\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {-1}{-3} \ = \frac {1}{3}$$

(Página 139) Questão 51 - A quantidade de oxigênio que pode ser dissolvido em água depende da temperatura da água. (Logo, a poluição térmica influencia o nível de oxigênio da água.) O gráfico mostra como a solubilidades do oxigênio varia em função da temperatura T da água.

(a) Qual o significado da derivada S'(T)? Quais são suas unidades?
Solubilidade do oxigênio e temperatura.
Temperatura - grau celsius
Solubilidade - miligrama por litro

(b) Dê uma estimativa do valor S'(16) e S'(25) e interprete-o.

422° quanto maior a solubilidade maior será a sua temperatura, portanto de acordo com o gráfico, temos uma solubilidade de 15 e uma temperatura de 40°C

(Página 148) Questão 16 - Faça um esboço cuidadoso de e abaixo dele esboce o gráfico de , como foi feito nos Exercícios 4–11. Você pode sugeir uma fórmula para a partir de seu gráfico?

$f(x) = sen \  x$
$f'(x) = cos \ x$

Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 17 - Guilherme Oliveira

17. Encontre o limite. $$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (\sqrt {x^2 + 4x + 1} - x)$$

Resposta: $$\lim\limits_ {x \rightarrow \infty} [ \frac { \sqrt {x^2 + 4x + 1} - x} {1} * \frac { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x} { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x}]$$
$$\lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac {(x^2 + 4x + 1) - x^2} { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x}$$
$$\lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac{(4x + 1) / x} {( \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x) / x}$$
$$\lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac {4 + 1 / x} { \sqrt {1 + 4 / x + 1 / x^2} + 1}$$
$$\frac {4 + 0} { \sqrt {1 + 0 + 0} + 1} = \frac {4} {2} = 2$$

Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 43 - Guilherme Oliveira

43. Trace ou copie o gráfico da função. Então, esboce o gráfico de sua derivada.

Resposta:  

Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 31 - José Hudson

31. Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.

$$h(x) = xe^{sen x}$$

Resposta: $sen x$ e $e^x$ são contínuos nos $\mathbb {R}$ pelo Teorma 7 da Seção 2.5. Como $e^x$ é contínuo nos $\mathbb {R}$, $e^{senx}$ é contínuo nos $\mathbb {R}$ pelo Teorema 9 na Seção 2.5. Por fim, $x$ é contínuo nos $\mathbb {R}$ pois é um polinômio e o produto $xe^{senx}$ é contínuo no domínio dos $\mathbb {R}$ pelo Teorema 4 da Seção 2.5.

Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 04 - José Hudson

04. Encontre o limite. $$\lim\limits_{ x \rightarrow 3} \frac {x^2 - 9} {x^2 + 2x - 3}$$ .

Resposta: Como funções racionais são contínuas,
$$\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2+2x-3}$$
$$\frac{3^2-9}{3^2+2\cdot 3-3}$$
$$\frac{9-9}{9+6-3}$$
$$\frac{0}{12}=0$$.

Seção 2 Revisão (pág. 150) - Questão 04 - José Hudson

04. O que afirma o teorema do confronto?

Resposta: Se $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ quando $x$ está próximo a $a$ (exceto possivelmente em $a$) e $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a} h(x) = L$ então $\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = L$.
O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado de Teorema do Sandúiche ou do Imprensamento, está ilustrado logo abaixo.

Ele diz que se $g(x)$ ficar imprensado entre $f(x)$ e $h(x)$ nas proximidades de $a$, e se $f$ e $h$ tiverem o mesmo limite $L$ em $a$, então $g$ será forçado a ter o mesmo limite $L$ em $a$. 

07. Encontre o limite. $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(h-1)^3 +1}{h}$

$$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(h-1)^3 +1}{h}$$
$$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h^3-3h^2+3h-1 +1}{h}$$
$$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h^3-3h^2+3h}{h}$$
$$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h(h^2-3h+3)}{h}$$
$$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \ h^2-3h+3 \ = \ 0^2-3 \cdot 0+3 \ = \ 3$$

Seção 2.8 (pág. 149) - Questão 43 - Guilherme Oliveira

43. A figura mostra os gráficos de $f$, $f'$ e $f''$. Identifique cada curva e explique suas escolhas.

Resposta: $a = f$, $b = f'$, $c = f''$. Pois onde $a$ tem uma tangente horizontal, $b = 0$ e onde $b$ tem uma tangente horizontal, $c = 0$. Logo $c$ não pode ser nem $f$, nem $f'$, pois nos pontos onde $c$ tem uma tangente horizontal nem $a$ ou $b$ é igual a $0$.

Seção 2.8 (pág. 148) - Questão 17 - Guilherme Oliveira

17. Faça um esboço cuidadoso de $f$ e abaixo dele esboce o gráfico de $f'$, como foi feito nos Exercícios 4-11. Você pode sugerir um fórmula para $f'(x)$ a partir do seu gráfico?

$$f(x) = e^x$$

Resposta:

A inclinação em $0$ parece ser $1$ e a inclinação em $1$ parece ser $2,7$. À medida que $x$ diminui a inclinação aproxima-se de $0$. Como os gráficos são tão semelhantes, podemos sugerir que $f'(x) = e^x$.

Seção 2.8 (pág. 149) - Questão 31 - José Hudson

31. Encontre a derivada da função dada usando a Definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

$f(x) = x^4$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(x+h)^4 - x^4} {h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4) - x^4} {h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4} {h}$$

$$f'(x) = 4x^3 + 6x^2h + 4xh + h^3$$

$$f'(x) = 4x^3$$

O domínio de $f  = \mathbb {R}$, e $f' = \mathbb {R}$.

Seção 2.8 (pág. 147) - Questão 04 - José Hudson

4. Trace ou copie o gráfico $f$ da função dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de $f'$ abaixo.

Resposta:

 CÁLCULO- Tradução da 7ª edição norte-americana- Volume 1- James Stewart

Lista de exercícios do capitulo  2- Limites e Derivadas

• 2.7 Derivadas e Taxas de Variação

• 2.8 A Derivada com uma Função

Seção Exercícios - Questão 38 - Pag:152 - Marden Torres

38. De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão P pelo volume V é uma constante. Suponha que, para um certo gás, P é medido em pascals e V é medido em litros.

(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta de 3 L para 4 L.

(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.


Resposta

a) Quando $V$ aumenta de $200$ em $3$ para $250$ em $3$, temos $ΔV = 250 - 200 = 50$ em $3$ e, como $P = 800 / V$,

$$\Delta{P}=P(250)-P(200)=\frac{800}{250}-\frac{800}{200}=3,2-4=-0,8$$  

Então, a taxa média de mudança é

  $$\frac{\Delta{P}}{\Delta{V}}=\frac{=0,8}{50}=-0,016$$

(b) Uma vez que $V = 800 / P$, a taxa instantânea de mudança de $V$ em relação a $P$ é

$$\lim _{h\rightarrow 0}\frac{\Delta{P}}{\Delta{V}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{V(P+h)-V(P)}{h}$$  

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{800/(P+h)-800/P}{h}$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{800[P-(P+h)]}{h(P+h)P}$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-800}{(P+h)P}=-\frac{800}{P^{2}}$$

que é inversamente proporcional ao quadrado de $P$

Atividade 2 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)

Questão 25

Demonstre cada afirmação usando a definição precisa de limite.
$$\lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4$$

Resposta

Dado $$\varepsilon > 0$$   , precisamos comparar $$\delta > 0$$   de modo que  $$0 <|x-2 |<\delta$$ , então   $$|(14- 5x)- 4| <\varepsilon$$ . Mas  $$|(14- 5x)- 4| < \varepsilon \Leftrightarrow |-5x + 10| < e \Leftrightarrow  |-5| |x- 2| < e \Leftrightarrow  | x- 2| < \varepsilon /5$$ .  Então , se escolhermos  $$\delta  = \varepsilon /5$$ , então  $$0 < |x- 2| < \delta  \Rightarrow |(14-5x)- 4| <\varepsilon$$ . Portanto , $$\lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4$$ é a definição do limite.



Questão 35

(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 - 2 x² no ponto (2,1).
(b) Encontre uma equação dessa reta tangente.

Respostas

A_

A inclinação da reta tangente em (2,1) é :

$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{9-2x^2-1}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{8-2x^2}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x^2-4)}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x-2)(x+2)}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}{[-2(x+2)}] = -2 *4 = -8$$


B_

A equação dessa reta tangente é : $$y- 1 = -8(x- 2)$$ ou  $$y = -8x + 17$$

28. Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada. $f(x)= \frac{x^2-1}{2x-3}$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac { [ \frac{(x+h)^2-1}{2(x+h)-3}] - [ \frac{x^2-1}{2x-3}}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {  \frac{x^2+2xh+h^2-1}{2x+2h-3} - [ \frac{x^2-1}{2x-3}}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(2x-3)(x^2+2xh+h^2-1)-[(2x+2x+2h-3)(x^2-1)]}{h(2x-3)(2x+2h-3)}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^3+4x^2h+2xh^2-2x-3x^2-6xh-3h^2+3-[2x^3+2x^2h-3x^2-2x-2h+3]}{h(2x-3)(2x+2h-3)}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2h+2xh^2-6xh-3h^2+2h}{h(2x-3)(2x+2h-3)}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h(2x^2+2xh-6x-3h+2)}{h(2x-3)(2x+2h-3)}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2+2x \cdot 0-6x-3 \cdot 0+2)}{(2x-3)(2x+2 \cdot 0-3)}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2-6x+2)}{(2x-3)^2}$$

$D(f) = \mathbb {R} - \{ \frac {3}{2} \}$
$D(f') = \mathbb {R} - \{ \frac {3}{2} \}$

Seção 2.8- Questões 10 e 33 (Diana Keli Soares de Souza)

Questão 10- Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f' abaixo.

Solução: 

Questão 33- (a) Se $$f(x) = x^{4}+2x$$ , encontre f'(x).

Solução:          $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
                        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{4} + 2(x+h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
                        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{3}(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
                        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{3}+3x^{2}*h+3xh^{2}+h^{3})(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
              $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{((x^{4}+x^{3}h+3x^{3}h+3x^{2}h^{2}+3x^{2}h^{2}+3xh^{3}+xh^{3}+h^{4}+2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
  $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+2x+2h-x^{4}-2x))}{h}$$
          $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+h^{4}+2h))}{h}$$
        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(h(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}+2))}{h}$$

Considerando h=0 temos:

                      $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} 4x^{3}+2$$



(b) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável, comparando os gráficos de f e f'.
     

Seção 2.8 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)

Questão 25 

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
$$f(x)= x^3-3x +5$$

Resposta

Pela regra de Suma, a derivada de x³ -3x +5 com respeito a x é :

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5]$$ .

Diferencie usando a regra de potência:

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5]$$ .

Avalie  :

$$\frac{d}{dx}[-3x]$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 +\frac{d}{dx}[5]$$

Dado que 5 é constante com respeito a x , a derivada de 5 com respeito a x é 0 .

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3  + 0$$

Solução:

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3$$

O domínio da função e de sua derivada será o conjunto dos reais.


Questão 35

A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela fornece a porcentagem de desempregados na força de trabalho australiana em meados de 1995 a 2004.

(a) Qual o significado de U'(t)? Quais são suas unidades?
(b)Construa uma tabela de valores para U'(t).


Respostas

A_

U'(t) é a taxa em que a taxa de desemprego está mudando em relação ao tempo. Suas unidades são por cento ao ano.

B_

Para encontrar U'(t) use :

$$f'(t)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{U(t+h)-U(t)}{h} \approxeq  \frac{U(t+h)-U(t)}{h}$$

Para valores pequenos de h.

Para 1999:

$$U'(1999)  \approxeq  \frac{U(2000)- U(1999)}{2000-1999} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2$$

Para 2000:

Estima-se que U'(2000) usando h = -1 e h = 1 para obter a média dos 2 resultados pra obter uma estimativa final.

$$h = -1 \rightarrow U'(2000)  \approxeq  \frac{U(1999)- U(2000)}{1999-2000} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2$$

$$h = 1 \rightarrow U'(2000)  \approxeq  \frac{U(2001)- U(2000)}{2001-2000} = \frac {4.7-4.0} {1} = -0.7$$

Então estimamos que :

$$U'(2000)  \approxeq  \frac{1}{2} =[(-0.2)+ 0.7]= 0.25$$

Seção 2.7 - Questões 25 e 35 ( Robson Santos)

Questão 25


(a) Se F(x) = 5x/(1+x²) , encontre F'(2) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva  y = 5x/(1+x²) no ponto (2,2).

(b)Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente na mesma tela.

Respostas

A_

Usando F(x) = 5x/(1+x²) no ponto (2,2) temos:

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(2+h)-F(2)}{h}$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5(2+h)}{1+(2+h)^2}-2}{h}$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5h+10}{h^2+4h+5}-2}{h}$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5h+10-2(h^2+4h+5)}{h^2+4h+5}}{h}$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2h^2-3h}{h(h^2+4h+5)}$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(-2h-3)}{h(h^2+4h+5)}$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2h-3}{h^2+4h+5}$$

Então :

$$f'(2)= \frac{-3}{5}$$

Portanto , a equação da linha tangente em (2,2) é :  $$y = \frac{-3}{5}x + \frac{16}{5}$$


B_

Questão 36

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso

$$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$$

Resposta

Pela equação :

$$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$$   

Temos:

$$f(x)=2^x$$ ,
$$a=5$$

Atividade 2 - Q 52 (Gabriel Levi Lima Rocha)

Questão 52

Seja f(x)= [[x]] + [[ - x]].       

(a) Para quais valores de a existe lim x → a f(x)?

(b) Em quais números f é descontínua?

Solução passo-a-passo

Respostas

A_

f(x)= [[x]] + [[ - x]]

Pela definição da função maior inteira, nós temos:

[[x]]=x e[[-x]]=-x , se x é um número inteiro, e  [[-x]]=-[[x]]-1 se x não é inteiro.

Para todo número inteiro n f(n)=[[n]] + [[-n]]=n-n=0,  e para todo número m não inteiro, nós

 temos f(m)=[[m]]+[[-m]]=[[m]]-[[m]]-1=-1.

Portanto,   $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-1$$  para todo a.          

Assim,  $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$  existe para todos os valores de a.     

B_

f(x)= [[x]] +[[-x]] é descontínua em todo valor inteiro de x, porque x é um inteiro, então  $$\lim_{x\rightarrow1}f(x) = f(I)$$ .

Então  

f(x)=[[x]]+[[-x]] é descontínuo para todos os inteiros.   

Q - 48 e 52 - Pg 139 (Gabriel Levi Lima Rocha)

Questão 48

O número de bactérias depois de t horas em um laboratório experimental controlado é n = f(t).

(a) Qual o significado da derivada f′(5)? Quais são suas unidades?

(b) Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: f′(5) ou f′(10)? Se a oferta de nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique.

Respostas

A_

f´(5) é a taxa de crescimento de bactérias quando t= 5. As unidades por horas.

B_

Como o esparro e nutrientes são ilimitados quanto mais o tempo mais a taxa de crescimento, Então f´(5)<f´(10).

Se os nutrientes forem limitados a taxa de crescimento pode diminuir ou aumentar em alguns momentos.

Questão 52

O gráfico mostra a influência da temperatura T sobre a velocidade máxima s de nado de salmões Coho.

(a) Qual o significado da derivada S′(T)? Quais são suas unidades?

(b) Dê uma estimativa dos valores de S′(15) e S′ (25) e interprete-os.

Respostas

A_

Taxa de variação da velocidade máxima do modo dos salmões em relação a temporada. As unidades são $$\frac{cm/s}{c}$$ .

B_

Para T= 15°C

    Os pontos no gráfico que podemos usar para ter uma estimativa são (10, 20) e (20,30)

$$S´(15°C)=\frac{30-20}{20-10}$$

$$=\frac{10}{10}=1$$

Para T= 25°C pontos (20,30) e (25,25)

$$S´(25°C)=\frac{25-30}{25-30}$$

$$=\frac{-5}{5}=-1$$

Q - 48 e 52 - Pg 153 (Gabriel Levi Lima Rocha)

Questão 48

 Use a definição de derivada para encontrar f´(x) e f´´(x).  A seguir trace f,f´e f´´ em uma mesma tela e verifique se suas respostas são razoáveis.

$$f(x) – x^{3} – 3x$$

Resposta

$$f´(x)= 3x^{3-1} – 3*1x^{1-1}$$

$$f`(x)= 3x^{2} – 3$$

$$f´´(x)= 3x^{2} – 3$$

$$f´´(x)= 6x$$

Questão 52

A_ Se g(x)-x^2/3, mostre que g´(0) não existe.

B_ Se a = 0 , encontre g´(a).

C_ Mostre que y-x^2/3  tem uma reta tangente vertical em (0, 0).

D_ Ilustre a parte (c) fazendo o gráfico de y-x^2/3.

Respostas

A_

$$g´(x)=\frac{2}{3}x\frac{2}{3}-1$$

$$=\frac{2}{3}x\frac{-1}{3}$$

$$=\frac{2}{3{³\sqrt{x^1}}}$$

Se

$$g´(x)=\frac{2}{3{³\sqrt{x^1}}}$$

Então

$$g´(0)=\frac{2}{3{³\sqrt{0^1}}}$$

$$=\frac{2}{3{³\sqrt{0^1}}}$$

$$=\frac{2}{3*0}$$

$$=\frac{2}{0}=2$$

B_

Sabemos que $$g(x)=\frac{2}{3{³\sqrt{x^1}}}$$

Substituindo o X por a temos:

$$g(a)=\frac{2}{3{³\sqrt{a}}}$$

C_

Formula da reta tangente Y-Yo=m(X-Xo)

Fo=0; Xo=o; Xo= g´(0)= 2

Substituindo

Y – 0 = 2(X - 0)

Y= 2x

 D_

O gráfico de g esta plotado em vermelho a seguir com a reta tangente vertical explicita em verde:

Seção 2.8 - Q 12 e 36 (Aline Cristina)

Questão 12

O gráfico mostrado corresponde ao da função população P(t) de cultura em laboratório de células de levedo. Use o método do Exemplo 1 para obter o gráfico da derivada P′(t). O que o gráfico de P′ nos diz sobre a população de levedo?

RESPOSTA

O gráfico da população será:

Com P em células e t em horas.

Como esta é uma função crescente, a derivada desta função sempre sera positiva. Este gráfico da população tem inclinação máxima em torno de x=6, logo o gráfico da derivada terá máximo neste ponto.

Após x=6, a inclinação começa a diminuir e tende a ser horizontal, logo para x>6, o gráfico da derivada vai decair e tender a 0.

O gráfico da derivada será:

Este gráfico mostra que a taxa de crescimento da população diminui após 6 horas.

Questão 36

Seja P(t) a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos no instante t. A tabela fornece projeções dos valores desta função de 1995 a 2020.

t	P(t)	t	P(t)
1995	5,2	2010	6,7
2000	5,5	2015	7,7
2005	6,1	2020	8,9

(a) Qual o significado de P′(t)? Quais são suas unidades?

(b) Construa uma tabela de valores para P′(t).

(c) Faça os gráficos de P e P′.

RESPOSTA

(a)

P´(t) é a razão da mudança de percentual de pessoas com idade abaixo de 18 anos no momento t. A unidade de P´(t) é o percentual ao ano.

 (b)

Utilizaremos a fórmula a seguir:

$$f´(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Fazendo  t= 2000, 2005, 2010... e fixando h= 5, obtemos:

$$P´(2000)=\frac{P(2000+5)-P(2000-5)}{2h}$$

$$P´(2000)=\frac{2005-1995}{2\cdot5}$$

$$=\frac{6,1-5,2}{10}$$

$$=0,09$$

$$P´(2005)=\frac{P(2005+5)-(2005-5)}{2h}$$

$$P´(2005)=\frac{P(2010-2000)}{2\cdot5}$$

$$=\frac{6,7-5,5}{10}$$

$$=0,16$$

$$P´(2010)=\frac{(2010+5)-P(2010-5)}{2h}$$

$$P´(2010)=\frac{2015-2005}{2\cdot5}$$

$$=\frac{7,7-6,1}{10}$$

$$=0,12$$

$$P´(2015)=\frac{P(2015+5)-P(2015-5)}{2h}$$

$$P´(2015)=\frac{2020-2010}{2\cdot5}$$

$$=\frac{8,9-6,7}{10}$$

$$=1,1$$

Transportando os valores anteriores para uma tabela, conseguimos:

t	P´(t)
2000	0,09
2005	0,12
2010	0,16
2015	1,1

 (c)

O gráfico de  P(t) está esboçado abaixo:

O gráfico de  P´(t) está esboçado abaixo: