$$ \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {1-2x^2-x^4 }{5+x-3x4} $$
$$ \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {-x^4 }{-3x^4} $$
$$ \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \frac {-1}{-3} \ = \frac {1}{3} $$
domingo, 4 de fevereiro de 2018
(Página 139) Questão 51 - A quantidade de oxigênio que pode ser dissolvido em água depende da temperatura da água. (Logo, a poluição térmica influencia o nível de oxigênio da água.) O gráfico mostra como a solubilidades do oxigênio varia em função da temperatura T da água.
(a) Qual o significado da derivada S'(T)? Quais são suas unidades?
Solubilidade do oxigênio e temperatura.
Temperatura - grau celsius
Solubilidade - miligrama por litro
(b) Dê uma estimativa do valor S'(16) e S'(25) e interprete-o.
Solubilidade do oxigênio e temperatura.
Temperatura - grau celsius
Solubilidade - miligrama por litro
(b) Dê uma estimativa do valor S'(16) e S'(25) e interprete-o.
422° quanto maior a solubilidade maior será a sua temperatura, portanto de acordo com o gráfico, temos uma solubilidade de 15 e uma temperatura de 40°C
segunda-feira, 29 de janeiro de 2018
Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 17 - Guilherme Oliveira
17. Encontre o limite. $$ \lim\limits_{x \rightarrow \infty} (\sqrt {x^2 + 4x + 1} - x) $$
Resposta: $$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} [ \frac { \sqrt {x^2 + 4x + 1} - x} {1} * \frac { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x} { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x}] $$
$$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac {(x^2 + 4x + 1) - x^2} { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x} $$
$$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac{(4x + 1) / x} {( \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x) / x} $$
$$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac {4 + 1 / x} { \sqrt {1 + 4 / x + 1 / x^2} + 1} $$
$$ \frac {4 + 0} { \sqrt {1 + 0 + 0} + 1} = \frac {4} {2} = 2 $$
Resposta: $$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} [ \frac { \sqrt {x^2 + 4x + 1} - x} {1} * \frac { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x} { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x}] $$
$$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac {(x^2 + 4x + 1) - x^2} { \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x} $$
$$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac{(4x + 1) / x} {( \sqrt {x^2 + 4x + 1} + x) / x} $$
$$ \lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac {4 + 1 / x} { \sqrt {1 + 4 / x + 1 / x^2} + 1} $$
$$ \frac {4 + 0} { \sqrt {1 + 0 + 0} + 1} = \frac {4} {2} = 2 $$
domingo, 28 de janeiro de 2018
Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 43 - Guilherme Oliveira
43. Trace ou copie o gráfico da função. Então, esboce o gráfico de sua derivada.
Resposta:
Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 31 - José Hudson
31. Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.
$$ h(x) = xe^{sen x} $$
Resposta: $ sen x $ e $ e^x $ são contínuos nos $ \mathbb {R} $ pelo Teorma 7 da Seção 2.5. Como $ e^x $ é contínuo nos $ \mathbb {R} $, $ e^{senx} $ é contínuo nos $ \mathbb {R} $ pelo Teorema 9 na Seção 2.5. Por fim, $ x $ é contínuo nos $ \mathbb {R} $ pois é um polinômio e o produto $ xe^{senx} $ é contínuo no domínio dos $ \mathbb {R} $ pelo Teorema 4 da Seção 2.5.
$$ h(x) = xe^{sen x} $$
Resposta: $ sen x $ e $ e^x $ são contínuos nos $ \mathbb {R} $ pelo Teorma 7 da Seção 2.5. Como $ e^x $ é contínuo nos $ \mathbb {R} $, $ e^{senx} $ é contínuo nos $ \mathbb {R} $ pelo Teorema 9 na Seção 2.5. Por fim, $ x $ é contínuo nos $ \mathbb {R} $ pois é um polinômio e o produto $ xe^{senx} $ é contínuo no domínio dos $ \mathbb {R} $ pelo Teorema 4 da Seção 2.5.
Seção 2 Exercícios (pág. 152) - Questão 04 - José Hudson
04. Encontre o limite. $$ \lim\limits_{ x \rightarrow 3} \frac {x^2 - 9} {x^2 + 2x - 3} $$.
Resposta: Como funções racionais são contínuas,
$$ \lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2+2x-3}$$
$$\frac{3^2-9}{3^2+2\cdot 3-3}$$
$$\frac{9-9}{9+6-3}$$
$$\frac{0}{12}=0$$.
Resposta: Como funções racionais são contínuas,
$$ \lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2+2x-3}$$
$$\frac{3^2-9}{3^2+2\cdot 3-3}$$
$$\frac{9-9}{9+6-3}$$
$$\frac{0}{12}=0$$.
Seção 2 Revisão (pág. 150) - Questão 04 - José Hudson
04. O que afirma o teorema do confronto?
Resposta: Se $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ quando $ x $ está próximo a $ a $ (exceto possivelmente em $ a $) e $ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a} h(x) = L $ então $ \lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = L $.
O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado de Teorema do Sandúiche ou do Imprensamento, está ilustrado logo abaixo.
Resposta: Se $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ quando $ x $ está próximo a $ a $ (exceto possivelmente em $ a $) e $ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a} h(x) = L $ então $ \lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = L $.
O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado de Teorema do Sandúiche ou do Imprensamento, está ilustrado logo abaixo.
Ele diz que se $ g(x) $ ficar imprensado entre $ f(x) $ e $ h(x) $ nas proximidades de $ a $, e se $ f $ e $ h $ tiverem o mesmo limite $ L $ em $ a $, então $ g $ será forçado a ter o mesmo limite $ L $ em $ a $.
07. Encontre o limite. $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(h-1)^3 +1}{h} $
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(h-1)^3 +1}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h^3-3h^2+3h-1 +1}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h^3-3h^2+3h}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h(h^2-3h+3)}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \ h^2-3h+3 \ = \ 0^2-3 \cdot 0+3 \ = \ 3 $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h^3-3h^2+3h-1 +1}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h^3-3h^2+3h}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h(h^2-3h+3)}{h} $$
$$ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \ h^2-3h+3 \ = \ 0^2-3 \cdot 0+3 \ = \ 3 $$
Seção 2.8 (pág. 149) - Questão 43 - Guilherme Oliveira
43. A figura mostra os gráficos de $ f $, $ f' $ e $ f'' $. Identifique cada curva e explique suas escolhas.
Resposta: $ a = f $, $ b = f' $, $ c = f'' $. Pois onde $ a $ tem uma tangente horizontal, $ b = 0 $ e onde $ b $ tem uma tangente horizontal, $ c = 0 $. Logo $ c $ não pode ser nem $ f $, nem $f'$, pois nos pontos onde $ c $ tem uma tangente horizontal nem $ a $ ou $ b $ é igual a $ 0 $.
Seção 2.8 (pág. 148) - Questão 17 - Guilherme Oliveira
17. Faça um esboço cuidadoso de $ f $ e abaixo dele esboce o gráfico de $ f' $, como foi feito nos Exercícios 4-11. Você pode sugerir um fórmula para $ f'(x) $ a partir do seu gráfico?
$$ f(x) = e^x $$
Resposta:
A inclinação em $ 0 $ parece ser $ 1 $ e a inclinação em $ 1 $ parece ser $ 2,7 $. À medida que $ x $ diminui a inclinação aproxima-se de $ 0 $. Como os gráficos são tão semelhantes, podemos sugerir que $ f'(x) = e^x $.
$$ f(x) = e^x $$
Resposta:
Seção 2.8 (pág. 149) - Questão 31 - José Hudson
31. Encontre a derivada da função dada usando a Definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
$ f(x) = x^4 $
$ f(x) = x^4 $
$$ f'(x)
= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h} $$
$$ f'(x)
= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(x+h)^4 - x^4} {h} $$
$$ f'(x)
= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4) - x^4} {h} $$
$$ f'(x)
= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4} {h} $$
$$ f'(x)
= 4x^3 + 6x^2h + 4xh + h^3 $$
$$ f'(x) = 4x^3 $$
O domínio de $ f = \mathbb {R} $, e $ f' = \mathbb {R} $.
O domínio de $ f = \mathbb {R} $, e $ f' = \mathbb {R} $.
Seção 2.8 (pág. 147) - Questão 04 - José Hudson
4. Trace ou copie o gráfico $ f $ da função dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de $ f' $ abaixo.
Resposta:
sexta-feira, 26 de janeiro de 2018
Seção Exercícios - Questão 38 - Pag:152 - Marden Torres
38. De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão P pelo volume V é uma constante. Suponha que, para um certo gás, P é medido em pascals e V é medido em litros.
(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta de 3 L para 4 L.
(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.
Resposta
a) Quando $V$ aumenta de $200$ em $3$ para $250$ em $3$, temos $ΔV = 250 - 200 = 50$ em $3$ e, como $P = 800 / V$,
que é inversamente proporcional ao quadrado de $P$
(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta de 3 L para 4 L.
(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.
Resposta
a) Quando $V$ aumenta de $200$ em $3$ para $250$ em $3$, temos $ΔV = 250 - 200 = 50$ em $3$ e, como $P = 800 / V$,
$$\Delta{P}=P(250)-P(200)=\frac{800}{250}-\frac{800}{200}=3,2-4=-0,8$$
Então, a taxa média de mudança é
$$\frac{\Delta{P}}{\Delta{V}}=\frac{=0,8}{50}=-0,016$$
(b) Uma vez que $V = 800 / P$, a taxa instantânea de mudança de $V$ em relação a $P$ é
$$\lim _{h\rightarrow 0}\frac{\Delta{P}}{\Delta{V}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{V(P+h)-V(P)}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{800/(P+h)-800/P}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{800[P-(P+h)]}{h(P+h)P}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-800}{(P+h)P}=-\frac{800}{P^{2}}$$
que é inversamente proporcional ao quadrado de $P$
domingo, 21 de janeiro de 2018
Atividade 2 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)
Questão 25
Demonstre cada afirmação usando a definição precisa de limite.
$$ \lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4 $$
Resposta
Dado$$ \varepsilon > 0$$ , precisamos comparar$$ \delta > 0$$ de modo que $$ 0 <|x-2 |<\delta $$ , então $$ |(14- 5x)- 4| <\varepsilon $$. Mas $$ |(14- 5x)- 4| < \varepsilon \Leftrightarrow |-5x + 10| < e \Leftrightarrow |-5| |x- 2| < e \Leftrightarrow | x- 2| < \varepsilon /5$$. Então , se escolhermos $$ \delta = \varepsilon /5 $$ , então $$0 < |x- 2| < \delta \Rightarrow |(14-5x)- 4| <\varepsilon $$ . Portanto , $$ \lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4 $$ é a definição do limite.
Questão 35
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 - 2 x² no ponto (2,1).
(b) Encontre uma equação dessa reta tangente.
Respostas
A_
A inclinação da reta tangente em (2,1) é :
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{9-2x^2-1}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{8-2x^2}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x^2-4)}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x-2)(x+2)}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}{[-2(x+2)}] = -2 *4 = -8 $$
B_
A equação dessa reta tangente é :$$ y- 1 = -8(x- 2) $$ ou $$y = -8x + 17$$
Demonstre cada afirmação usando a definição precisa de limite.
$$ \lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4 $$
Resposta
Dado$$ \varepsilon > 0$$ , precisamos comparar$$ \delta > 0$$ de modo que $$ 0 <|x-2 |<\delta $$ , então $$ |(14- 5x)- 4| <\varepsilon $$. Mas $$ |(14- 5x)- 4| < \varepsilon \Leftrightarrow |-5x + 10| < e \Leftrightarrow |-5| |x- 2| < e \Leftrightarrow | x- 2| < \varepsilon /5$$. Então , se escolhermos $$ \delta = \varepsilon /5 $$ , então $$0 < |x- 2| < \delta \Rightarrow |(14-5x)- 4| <\varepsilon $$ . Portanto , $$ \lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4 $$ é a definição do limite.
Questão 35
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 - 2 x² no ponto (2,1).
(b) Encontre uma equação dessa reta tangente.
Respostas
A_
A inclinação da reta tangente em (2,1) é :
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{9-2x^2-1}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{8-2x^2}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x^2-4)}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x-2)(x+2)}{x-2} $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}{[-2(x+2)}] = -2 *4 = -8 $$
B_
A equação dessa reta tangente é :$$ y- 1 = -8(x- 2) $$ ou $$y = -8x + 17$$
28. Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada. $ f(x)= \frac{x^2-1}{2x-3} $
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac { [ \frac{(x+h)^2-1}{2(x+h)-3}] - [ \frac{x^2-1}{2x-3}}{h} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac { \frac{x^2+2xh+h^2-1}{2x+2h-3} - [ \frac{x^2-1}{2x-3}}{h} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(2x-3)(x^2+2xh+h^2-1)-[(2x+2x+2h-3)(x^2-1)]}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^3+4x^2h+2xh^2-2x-3x^2-6xh-3h^2+3-[2x^3+2x^2h-3x^2-2x-2h+3]}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2h+2xh^2-6xh-3h^2+2h}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h(2x^2+2xh-6x-3h+2)}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2+2x \cdot 0-6x-3 \cdot 0+2)}{(2x-3)(2x+2 \cdot 0-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2-6x+2)}{(2x-3)^2} $$
$ D(f) = \mathbb {R} - \{ \frac {3}{2} \} $
$ D(f') = \mathbb {R} - \{ \frac {3}{2} \} $
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac { [ \frac{(x+h)^2-1}{2(x+h)-3}] - [ \frac{x^2-1}{2x-3}}{h} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac { \frac{x^2+2xh+h^2-1}{2x+2h-3} - [ \frac{x^2-1}{2x-3}}{h} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(2x-3)(x^2+2xh+h^2-1)-[(2x+2x+2h-3)(x^2-1)]}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^3+4x^2h+2xh^2-2x-3x^2-6xh-3h^2+3-[2x^3+2x^2h-3x^2-2x-2h+3]}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2h+2xh^2-6xh-3h^2+2h}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {h(2x^2+2xh-6x-3h+2)}{h(2x-3)(2x+2h-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2+2x \cdot 0-6x-3 \cdot 0+2)}{(2x-3)(2x+2 \cdot 0-3)} $$
$$ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {2x^2-6x+2)}{(2x-3)^2} $$
$ D(f) = \mathbb {R} - \{ \frac {3}{2} \} $
$ D(f') = \mathbb {R} - \{ \frac {3}{2} \} $
Seção 2.8- Questões 10 e 33 (Diana Keli Soares de Souza)
Questão 10- Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f' abaixo.
Solução:
Questão 33- (a) Se $$f(x) = x^{4}+2x$$ , encontre f'(x).
Solução: $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{4} + 2(x+h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{3}(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{3}+3x^{2}*h+3xh^{2}+h^{3})(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{((x^{4}+x^{3}h+3x^{3}h+3x^{2}h^{2}+3x^{2}h^{2}+3xh^{3}+xh^{3}+h^{4}+2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+2x+2h-x^{4}-2x))}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+h^{4}+2h))}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(h(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}+2))}{h}$$
Considerando h=0 temos:
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} 4x^{3}+2$$
(b) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável, comparando os gráficos de f e f'.
Solução:
Questão 33- (a) Se $$f(x) = x^{4}+2x$$ , encontre f'(x).
Solução: $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{4} + 2(x+h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{3}(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{3}+3x^{2}*h+3xh^{2}+h^{3})(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{((x^{4}+x^{3}h+3x^{3}h+3x^{2}h^{2}+3x^{2}h^{2}+3xh^{3}+xh^{3}+h^{4}+2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+2x+2h-x^{4}-2x))}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+h^{4}+2h))}{h}$$
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(h(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}+2))}{h}$$
Considerando h=0 temos:
$$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} 4x^{3}+2$$
(b) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável, comparando os gráficos de f e f'.
Seção 2.8 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)
Questão 25
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
$$ f(x)= x^3-3x +5 $$
Resposta
Pela regra de Suma, a derivada de x³ -3x +5 com respeito a x é :
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5] $$ .
Diferencie usando a regra de potência:
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5] $$ .
Avalie :
$$ \frac{d}{dx}[-3x] $$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 +\frac{d}{dx}[5] $$
Dado que 5 é constante com respeito a x , a derivada de 5 com respeito a x é 0 .
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 + 0 $$
Solução:
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 $$
O domínio da função e de sua derivada será o conjunto dos reais.
Questão 35
A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela fornece a porcentagem de desempregados na força de trabalho australiana em meados de 1995 a 2004.
(a) Qual o significado de U'(t)? Quais são suas unidades?
(b)Construa uma tabela de valores para U'(t).
Respostas
A_
U'(t) é a taxa em que a taxa de desemprego está mudando em relação ao tempo. Suas unidades são por cento ao ano.
Para valores pequenos de h.
Para 1999:
$$ U'(1999) \approxeq \frac{U(2000)- U(1999)}{2000-1999} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2 $$
Para 2000:
Estima-se que U'(2000) usando h = -1 e h = 1 para obter a média dos 2 resultados pra obter uma estimativa final.
$$ h = -1 \rightarrow U'(2000) \approxeq \frac{U(1999)- U(2000)}{1999-2000} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2 $$
$$ h = 1 \rightarrow U'(2000) \approxeq \frac{U(2001)- U(2000)}{2001-2000} = \frac {4.7-4.0} {1} = -0.7 $$
Então estimamos que :
$$ U'(2000) \approxeq \frac{1}{2} =[(-0.2)+ 0.7]= 0.25 $$
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
$$ f(x)= x^3-3x +5 $$
Resposta
Pela regra de Suma, a derivada de x³ -3x +5 com respeito a x é :
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5] $$ .
Diferencie usando a regra de potência:
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5] $$ .
Avalie :
$$ \frac{d}{dx}[-3x] $$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 +\frac{d}{dx}[5] $$
Dado que 5 é constante com respeito a x , a derivada de 5 com respeito a x é 0 .
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 + 0 $$
Solução:
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 $$
O domínio da função e de sua derivada será o conjunto dos reais.
Questão 35
A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela fornece a porcentagem de desempregados na força de trabalho australiana em meados de 1995 a 2004.
(b)Construa uma tabela de valores para U'(t).
Respostas
A_
U'(t) é a taxa em que a taxa de desemprego está mudando em relação ao tempo. Suas unidades são por cento ao ano.
B_
Para encontrar U'(t) use :
$$ f'(t)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{U(t+h)-U(t)}{h} \approxeq \frac{U(t+h)-U(t)}{h}$$
Para valores pequenos de h.
Para 1999:
$$ U'(1999) \approxeq \frac{U(2000)- U(1999)}{2000-1999} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2 $$
Para 2000:
Estima-se que U'(2000) usando h = -1 e h = 1 para obter a média dos 2 resultados pra obter uma estimativa final.
$$ h = -1 \rightarrow U'(2000) \approxeq \frac{U(1999)- U(2000)}{1999-2000} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2 $$
$$ h = 1 \rightarrow U'(2000) \approxeq \frac{U(2001)- U(2000)}{2001-2000} = \frac {4.7-4.0} {1} = -0.7 $$
Então estimamos que :
$$ U'(2000) \approxeq \frac{1}{2} =[(-0.2)+ 0.7]= 0.25 $$
Seção 2.7 - Questões 25 e 35 ( Robson Santos)
Questão 25
(a) Se F(x) = 5x/(1+x²) , encontre F'(2) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = 5x/(1+x²) no ponto (2,2).
(b)Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente na mesma tela.
Respostas
A_
Usando F(x) = 5x/(1+x²) no ponto (2,2) temos:
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(2+h)-F(2)}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5(2+h)}{1+(2+h)^2}-2}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5h+10}{h^2+4h+5}-2}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5h+10-2(h^2+4h+5)}{h^2+4h+5}}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2h^2-3h}{h(h^2+4h+5)}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(-2h-3)}{h(h^2+4h+5)}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2h-3}{h^2+4h+5}$$
Então :
$$ f'(2)= \frac{-3}{5}$$
Portanto , a equação da linha tangente em (2,2) é : $$ y = \frac{-3}{5}x + \frac{16}{5}$$
B_
(a) Se F(x) = 5x/(1+x²) , encontre F'(2) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = 5x/(1+x²) no ponto (2,2).
(b)Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente na mesma tela.
Respostas
A_
Usando F(x) = 5x/(1+x²) no ponto (2,2) temos:
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(2+h)-F(2)}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5(2+h)}{1+(2+h)^2}-2}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5h+10}{h^2+4h+5}-2}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{5h+10-2(h^2+4h+5)}{h^2+4h+5}}{h}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2h^2-3h}{h(h^2+4h+5)}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(-2h-3)}{h(h^2+4h+5)}$$
$$ f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2h-3}{h^2+4h+5}$$
Então :
$$ f'(2)= \frac{-3}{5}$$
Portanto , a equação da linha tangente em (2,2) é : $$ y = \frac{-3}{5}x + \frac{16}{5}$$
B_
Questão 36
Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso
$$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$$
Resposta
Pela equação :
$$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$$
Temos:
$$f(x)=2^x$$ ,
$$a=5$$
$$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{2^x-32}{x-5}$$
Temos:
$$f(x)=2^x$$ ,
$$a=5$$
sábado, 20 de janeiro de 2018
Atividade 2 - Q 52 (Gabriel Levi Lima Rocha)
Questão 52
Seja f(x)= [[x]] + [[ - x]].
(a) Para quais valores
de a existe lim x → a f(x)?
(b) Em quais números f é
descontínua?
Solução passo-a-passo
Respostas
A_
f(x)=
[[x]] + [[ - x]]
Pela definição da função maior inteira, nós temos:
[[x]]=x e[[-x]]=-x , se x é um número inteiro,
e [[-x]]=-[[x]]-1 se x não é inteiro.
Para todo número inteiro n f(n)=[[n]] +
[[-n]]=n-n=0, e para todo número m não inteiro,
nós
temos f(m)=[[m]]+[[-m]]=[[m]]-[[m]]-1=-1.
Portanto, $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-1$$ para
todo a.
Assim, $$\lim_{x\rightarrow
a}f(x)$$ existe para todos os valores de a.
B_
f(x)= [[x]] +[[-x]] é descontínua em todo valor inteiro de x, porque x é um inteiro,
então $$\lim_{x\rightarrow1}f(x) = f(I)$$.
Então
f(x)=[[x]]+[[-x]] é descontínuo para todos os inteiros.
Q - 48 e 52 - Pg 139 (Gabriel Levi Lima Rocha)
Questão 48
O número de bactérias depois de t horas em um laboratório experimental controlado
é n = f(t).
(a) Qual o significado da
derivada f′(5)? Quais são suas unidades?
(b) Suponha que haja uma quantidade
ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: f′(5) ou f′(10)? Se a oferta de
nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique.
Respostas
A_
f´(5) é a taxa de crescimento de
bactérias quando t= 5. As unidades por horas.
B_
Como o esparro e nutrientes são
ilimitados quanto mais o tempo mais a taxa de crescimento, Então
f´(5)<f´(10).
Se os nutrientes forem limitados a
taxa de crescimento pode diminuir ou aumentar em alguns momentos.
Questão 52
O gráfico mostra a influência da
temperatura T sobre a velocidade máxima s de nado de salmões Coho.
(a) Qual o significado da
derivada S′(T)? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa dos valores
de S′(15) e S′ (25) e
interprete-os.
Respostas
A_
Taxa de variação da velocidade máxima
do modo dos salmões em relação a temporada. As unidades são $$\frac{cm/s}{c}$$.
B_
Para T= 15°C
Os pontos no gráfico que podemos usar para ter uma estimativa são (10,
20) e (20,30)
$$S´(15°C)=\frac{30-20}{20-10}$$
$$=\frac{10}{10}=1$$
Para T= 25°C pontos (20,30) e (25,25)
$$S´(25°C)=\frac{25-30}{25-30}$$
$$=\frac{-5}{5}=-1$$
Q - 48 e 52 - Pg 153 (Gabriel Levi Lima Rocha)
Questão 48
Use a definição de
derivada para encontrar f´(x) e f´´(x).
A seguir trace f,f´e f´´ em uma mesma tela e verifique se suas respostas
são razoáveis.
$$f(x) – x^{3} – 3x$$
Resposta
$$f´(x)= 3x^{3-1} – 3*1x^{1-1}$$
$$f`(x)= 3x^{2} – 3$$
$$f´´(x)= 3x^{2} – 3$$
$$f´´(x)= 6x$$
Questão 52
A_ Se g(x)-x^2/3, mostre que g´(0) não existe.
B_ Se a = 0 , encontre g´(a).
C_ Mostre que y-x^2/3 tem uma reta tangente vertical em (0, 0).
D_ Ilustre a parte (c) fazendo o gráfico
de y-x^2/3.
Respostas
A_
$$g´(x)=\frac{2}{3}x\frac{2}{3}-1$$
$$=\frac{2}{3}x\frac{-1}{3}$$
$$=\frac{2}{3{³\sqrt{x^1}}}$$
Se
$$g´(x)=\frac{2}{3{³\sqrt{x^1}}}$$
Então
$$g´(0)=\frac{2}{3{³\sqrt{0^1}}}$$
$$=\frac{2}{3{³\sqrt{0^1}}}$$
$$=\frac{2}{3*0}$$
$$=\frac{2}{0}=2$$
B_
Sabemos que
$$g(x)=\frac{2}{3{³\sqrt{x^1}}}$$
Substituindo o X por a temos:
$$g(a)=\frac{2}{3{³\sqrt{a}}}$$
C_
Formula da reta tangente Y-Yo=m(X-Xo)
Fo=0; Xo=o; Xo= g´(0)= 2
Substituindo
Y – 0 = 2(X - 0)
Y= 2x
D_
O gráfico de g esta plotado em vermelho a seguir com a reta tangente vertical explicita
em verde:
Seção 2.8 - Q 12 e 36 (Aline Cristina)
Questão 12
O gráfico mostrado corresponde ao da
função população P(t) de cultura em
laboratório de células de levedo. Use o método do Exemplo 1 para obter o
gráfico da derivada P′(t). O que o gráfico
de P′ nos diz sobre a população de levedo?
RESPOSTA
O
gráfico da população será:
Com P
em células e t em horas.
Como
esta é uma função crescente, a derivada desta função sempre sera positiva. Este
gráfico da população tem inclinação máxima em torno de x=6, logo o gráfico da
derivada terá máximo neste ponto.
Após
x=6, a inclinação começa a diminuir e tende a ser horizontal, logo para x>6,
o gráfico da derivada vai decair e tender a 0.
O
gráfico da derivada será:
Este
gráfico mostra que a taxa de crescimento da população diminui após 6 horas.
Questão 36
Seja P(t) a porcentagem da população das Filipinas com idade maior
que 60 anos no instante t. A tabela fornece
projeções dos valores desta função de 1995 a 2020.
t
|
P(t)
|
t
|
P(t)
|
1995
|
5,2
|
2010
|
6,7
|
2000
|
5,5
|
2015
|
7,7
|
2005
|
6,1
|
2020
|
8,9
|
(a) Qual o significado de P′(t)? Quais são suas unidades?
(b) Construa uma tabela de valores
para P′(t).
(c) Faça os gráficos de P e P′.
RESPOSTA
(a)
P´(t) é a
razão da mudança de percentual de pessoas com idade abaixo de 18 anos no
momento t. A
unidade de P´(t) é o percentual ao ano.
(b)
Utilizaremos
a fórmula a seguir:
$$f´(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$
Fazendo t= 2000, 2005, 2010... e fixando h= 5, obtemos:
$$P´(2000)=\frac{P(2000+5)-P(2000-5)}{2h}$$
$$P´(2000)=\frac{2005-1995}{2\cdot5}$$
$$=\frac{6,1-5,2}{10}$$
$$=0,09$$
$$P´(2005)=\frac{P(2005+5)-(2005-5)}{2h}$$
$$P´(2005)=\frac{P(2010-2000)}{2\cdot5}$$
$$=\frac{6,7-5,5}{10}$$
$$=0,16$$
$$P´(2010)=\frac{(2010+5)-P(2010-5)}{2h}$$
$$P´(2010)=\frac{2015-2005}{2\cdot5}$$
$$=\frac{7,7-6,1}{10}$$
$$=0,12$$
$$P´(2015)=\frac{P(2015+5)-P(2015-5)}{2h}$$
$$P´(2015)=\frac{2020-2010}{2\cdot5}$$
$$=\frac{8,9-6,7}{10}$$
$$=1,1$$
Transportando
os valores anteriores para uma tabela, conseguimos:
t
|
P´(t)
|
2000
|
0,09
|
2005
|
0,12
|
2010
|
0,16
|
2015
|
1,1
|
(c)
O
gráfico de P(t) está
esboçado abaixo:
O gráfico de P´(t) está esboçado abaixo:
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