Seção 2.7 - Q 12 e 36 (Aline Cristina)

  Questão 12

         São dados os gráficos das funções das posições de dois corredores, A e B, que correm 100 metros rasos e terminam empatados.

A - Descreva e compare como os corredores correram a prova.

B – Em que instante a distância entre os corredores é maior?

C – Em que instante eles têm a mesma velocidade?

RESPOSTAS

A_

Observando o gráfico do corredor A, que é uma linha reta e a inclinação de uma tangente em qualquer ponto deste gráfico é constante. Então vemos que o corredor mantém uma taxa constante durante toda a corrida.

Observando também o gráfico do corredor B. As tangentes em diferentes pontos da curva azul têm diferentes inclinações e também se observa que a curva é levemente encurvada no início. Vemos que a taxa do corredor B é menor do que a do corredor A.

Ela se encurva mais e fica quase paralela à linha vermelha por um certo período.

Vemos que a taxa do corredor B é aproximadamente igual à do corredor A.

Então, a curva se encurvada ainda mais para alcançar a posição final da corrida.

Segue-se que a taxa do corredor B é maior do que a do corredor A.

B_

A distância entre os corredores é a maior quando a diferença entre suas taxas for máxima. Em outras palavras, o valor do tempo t para o qual a diferença de inclinações das tangentes de ambas as curvas (vermelha e azul) for máxima.

Consequentemente, o valor da diferença das derivadas da função f(t) e g(t) em t =a é máximo, significando que será um f´(a)-g´(a)número grande.

 C_                                

A partir do gráfico, observa-se que as curvas coincidem no início e no final da corrida.

Disto, segue-se que as velocidades dos corredores é igual tanto no início quando no final da corrida.

Isto é, as velocidades são iguais quando ambos os corredores estão em repouso.

Logo, as velocidades dos corredores são iguais quando T= 0 e quando T= 14.

Questão 36

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso

$$lim_{x\rightarrow \frac{π}{4}}=\frac{tgx-1}{x-\frac{π}{4}}$$

RESPOSTA

Definição (reta tangente): A reta tangente à curva  y = f(t) no ponto  P(a,f(a)) é a linha que passa por P com inclinação 

$$f´(a)=\lim_{t\rightarrow a}\frac{f(t)-f(a)}{t-a}$$ , desde que tal limite exista.

Agora, faça uma comparação com  

$$f´(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Então,

$$f(a)=1$$

$$X` = tan x$$