Seção Exercícios - Questão 38 - Pag:152 - Marden Torres

38. De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão P pelo volume V é uma constante. Suponha que, para um certo gás, P é medido em pascals e V é medido em litros.

(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta de 3 L para 4 L.

(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.


Resposta

a) Quando $V$ aumenta de $200$ em $3$ para $250$ em $3$, temos $ΔV = 250 - 200 = 50$ em $3$ e, como $P = 800 / V$,

$$\Delta{P}=P(250)-P(200)=\frac{800}{250}-\frac{800}{200}=3,2-4=-0,8$$  

Então, a taxa média de mudança é

  $$\frac{\Delta{P}}{\Delta{V}}=\frac{=0,8}{50}=-0,016$$

(b) Uma vez que $V = 800 / P$, a taxa instantânea de mudança de $V$ em relação a $P$ é

$$\lim _{h\rightarrow 0}\frac{\Delta{P}}{\Delta{V}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{V(P+h)-V(P)}{h}$$  

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{800/(P+h)-800/P}{h}$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{800[P-(P+h)]}{h(P+h)P}$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-800}{(P+h)P}=-\frac{800}{P^{2}}$$

que é inversamente proporcional ao quadrado de $P$