Seção 2.8- Questões 10 e 33 (Diana Keli Soares de Souza)

Questão 10- Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f' abaixo.

Solução: 

Questão 33- (a) Se $$f(x) = x^{4}+2x$$ , encontre f'(x).

Solução:          $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
                        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{4} + 2(x+h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
                        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x+h)^{3}(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
                        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{3}+3x^{2}*h+3xh^{2}+h^{3})(x+h) + 2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
              $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{((x^{4}+x^{3}h+3x^{3}h+3x^{2}h^{2}+3x^{2}h^{2}+3xh^{3}+xh^{3}+h^{4}+2x+2h)) - (x^{4}+2x)}{h}$$
  $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+2x+2h-x^{4}-2x))}{h}$$
          $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{((4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}+h^{4}+2h))}{h}$$
        $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(h(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}+2))}{h}$$

Considerando h=0 temos:

                      $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} 4x^{3}+2$$



(b) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável, comparando os gráficos de f e f'.