Seção 2.8 (pág. 149) - Questão 31 - José Hudson

31. Encontre a derivada da função dada usando a Definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

$f(x) = x^4$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(x+h)^4 - x^4} {h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4) - x^4} {h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4} {h}$$

$$f'(x) = 4x^3 + 6x^2h + 4xh + h^3$$

$$f'(x) = 4x^3$$

O domínio de $f  = \mathbb {R}$, e $f' = \mathbb {R}$.