Seção 2.8 - Q 12 e 36 (Aline Cristina)

Questão 12

O gráfico mostrado corresponde ao da função população P(t) de cultura em laboratório de células de levedo. Use o método do Exemplo 1 para obter o gráfico da derivada P′(t). O que o gráfico de P′ nos diz sobre a população de levedo?

RESPOSTA

O gráfico da população será:

Com P em células e t em horas.

Como esta é uma função crescente, a derivada desta função sempre sera positiva. Este gráfico da população tem inclinação máxima em torno de x=6, logo o gráfico da derivada terá máximo neste ponto.

Após x=6, a inclinação começa a diminuir e tende a ser horizontal, logo para x>6, o gráfico da derivada vai decair e tender a 0.

O gráfico da derivada será:

Este gráfico mostra que a taxa de crescimento da população diminui após 6 horas.

Questão 36

Seja P(t) a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos no instante t. A tabela fornece projeções dos valores desta função de 1995 a 2020.

t	P(t)	t	P(t)
1995	5,2	2010	6,7
2000	5,5	2015	7,7
2005	6,1	2020	8,9

(a) Qual o significado de P′(t)? Quais são suas unidades?

(b) Construa uma tabela de valores para P′(t).

(c) Faça os gráficos de P e P′.

RESPOSTA

(a)

P´(t) é a razão da mudança de percentual de pessoas com idade abaixo de 18 anos no momento t. A unidade de P´(t) é o percentual ao ano.

 (b)

Utilizaremos a fórmula a seguir:

$$f´(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Fazendo  t= 2000, 2005, 2010... e fixando h= 5, obtemos:

$$P´(2000)=\frac{P(2000+5)-P(2000-5)}{2h}$$

$$P´(2000)=\frac{2005-1995}{2\cdot5}$$

$$=\frac{6,1-5,2}{10}$$

$$=0,09$$

$$P´(2005)=\frac{P(2005+5)-(2005-5)}{2h}$$

$$P´(2005)=\frac{P(2010-2000)}{2\cdot5}$$

$$=\frac{6,7-5,5}{10}$$

$$=0,16$$

$$P´(2010)=\frac{(2010+5)-P(2010-5)}{2h}$$

$$P´(2010)=\frac{2015-2005}{2\cdot5}$$

$$=\frac{7,7-6,1}{10}$$

$$=0,12$$

$$P´(2015)=\frac{P(2015+5)-P(2015-5)}{2h}$$

$$P´(2015)=\frac{2020-2010}{2\cdot5}$$

$$=\frac{8,9-6,7}{10}$$

$$=1,1$$

Transportando os valores anteriores para uma tabela, conseguimos:

t	P´(t)
2000	0,09
2005	0,12
2010	0,16
2015	1,1

 (c)

O gráfico de  P(t) está esboçado abaixo:

O gráfico de  P´(t) está esboçado abaixo: