Seção 2.8 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)

Questão 25 

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
$$f(x)= x^3-3x +5$$

Resposta

Pela regra de Suma, a derivada de x³ -3x +5 com respeito a x é :

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5]$$ .

Diferencie usando a regra de potência:

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 + \frac{d}{dx}[-3x] +\frac{d}{dx}[5]$$ .

Avalie  :

$$\frac{d}{dx}[-3x]$$

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3 +\frac{d}{dx}[5]$$

Dado que 5 é constante com respeito a x , a derivada de 5 com respeito a x é 0 .

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3  + 0$$

Solução:

$$f'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} 3x^2 - 3$$

O domínio da função e de sua derivada será o conjunto dos reais.


Questão 35

A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela fornece a porcentagem de desempregados na força de trabalho australiana em meados de 1995 a 2004.

(a) Qual o significado de U'(t)? Quais são suas unidades?
(b)Construa uma tabela de valores para U'(t).


Respostas

A_

U'(t) é a taxa em que a taxa de desemprego está mudando em relação ao tempo. Suas unidades são por cento ao ano.

B_

Para encontrar U'(t) use :

$$f'(t)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{U(t+h)-U(t)}{h} \approxeq  \frac{U(t+h)-U(t)}{h}$$

Para valores pequenos de h.

Para 1999:

$$U'(1999)  \approxeq  \frac{U(2000)- U(1999)}{2000-1999} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2$$

Para 2000:

Estima-se que U'(2000) usando h = -1 e h = 1 para obter a média dos 2 resultados pra obter uma estimativa final.

$$h = -1 \rightarrow U'(2000)  \approxeq  \frac{U(1999)- U(2000)}{1999-2000} = \frac {4.0-4.2} {1} = -0.2$$

$$h = 1 \rightarrow U'(2000)  \approxeq  \frac{U(2001)- U(2000)}{2001-2000} = \frac {4.7-4.0} {1} = -0.7$$

Então estimamos que :

$$U'(2000)  \approxeq  \frac{1}{2} =[(-0.2)+ 0.7]= 0.25$$