Atividade 2 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)

Questão 25

Demonstre cada afirmação usando a definição precisa de limite.
$$\lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4$$

Resposta

Dado $$\varepsilon > 0$$   , precisamos comparar $$\delta > 0$$   de modo que  $$0 <|x-2 |<\delta$$ , então   $$|(14- 5x)- 4| <\varepsilon$$ . Mas  $$|(14- 5x)- 4| < \varepsilon \Leftrightarrow |-5x + 10| < e \Leftrightarrow  |-5| |x- 2| < e \Leftrightarrow  | x- 2| < \varepsilon /5$$ .  Então , se escolhermos  $$\delta  = \varepsilon /5$$ , então  $$0 < |x- 2| < \delta  \Rightarrow |(14-5x)- 4| <\varepsilon$$ . Portanto , $$\lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4$$ é a definição do limite.



Questão 35

(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 - 2 x² no ponto (2,1).
(b) Encontre uma equação dessa reta tangente.

Respostas

A_

A inclinação da reta tangente em (2,1) é :

$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{9-2x^2-1}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{8-2x^2}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x^2-4)}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x-2)(x+2)}{x-2}$$
$$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}{[-2(x+2)}] = -2 *4 = -8$$


B_

A equação dessa reta tangente é : $$y- 1 = -8(x- 2)$$ ou  $$y = -8x + 17$$