Seção 2.7 - Questões 10 e 33 (Diana Keli Soares de Souza)

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Questão 10 - (a) Encontre a inclinação da tangente à curva $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$
 no ponto onde x = a.


Solução:
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$$

Multiplica-se a equação anterior pelo conjugado do numerador

                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}*\frac{(\frac{1}{\sqrt{x+h}}+\frac{1}{\sqrt{x}})}{(\frac{1}{\sqrt{x+h}}+\frac{1}{\sqrt{x}})}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(\frac{1}{\sqrt{x+h}})^{2}-(\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}}{h(\frac{1}{\sqrt{x+h}}+\frac{1}{\sqrt{x}})}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})}}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{x-x-h}{x(x+h)}}{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})}}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})}}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-h}{x(x+h)}*\frac{1}{h(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})})}$$
                $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-1}{x(x+h)}*\frac{1}{(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})})}$$
             
Considerando h=0 temos:
                 $$f'(x)=\frac{-1}{x(x+0)(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+0}}{(\sqrt{x+0})(\sqrt{x})})}$$
                 $$f'(x)=\frac{-1}{x^{2}(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}*\sqrt{x}})}$$
                 $$f'(x)=\frac{-1}{x^{2}(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}*\sqrt{x}})+(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}*\sqrt{x}})}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{x^{2}(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}^{2}})+(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}^{2}})}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{x^{2}(\frac{\sqrt{x}}{x})+(\frac{\sqrt{x}}{x})}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{(\frac{x^{2}\sqrt{x}}{x})+(\frac{x^{2}\sqrt{x}}{x})}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{\frac{2x^{2}\sqrt{x}}{x}}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{2x\sqrt{x}}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{2*x*x^{\frac{1}{2}}}$$
                 $$f'(x)= \frac{-1}{2x^{\frac{3}{2}}}$$


(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1,1) e (4, 1/2 )

Solução:
 No ponto (1,1) temos: $$f'(x) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
                                     $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
                                     $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1+h}}-1}{h}$$

Multiplica-se a equação anterior pelo conjugado do numerador

                                     $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(\frac{1}{\sqrt{1+h}}-1)}{h}*\frac{(\frac{1}{\sqrt{1+h}}+1)}{(\frac{1}{\sqrt{1+h}}+1)}$$
                                     $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(\frac{1}{\sqrt{1+h}})^{2}-(1)^{2}}{h(\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$$
                                    $$ f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+h}-1}{h(\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$$
                                    $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1-(1+h)}{1+h}}{h(\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$$
                                   $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1-1-h}{1+h}}{h(\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1)}$$
                                  $$f'(1) = \lim _{h\rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{1+h}}{\frac{1}{\sqrt{1+h}}+ 1}$$

 Considerando h=0 temos:

                                 $$f'(1) =\frac{\frac{-1}{1+0}}{\frac{1}{\sqrt{1+0}}+ 1}$$
                                 $$f'(1) = \frac{-1}{2}$$

Substituindo o valor da derivada encontrada para encontrar a equação da reta que tangencia o ponto (1,1) temos:

                               $$f'(x) = \frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$$
                               $$\frac{-1}{2} = \frac{y-1}{x-1}$$
                               $$2y-2 = -x+1$$

Logo, a equação da reta é:

                               $$x + 2y-3 = 0$$

No ponto (4, 1/2 ) podemos resolver usando também outro método:

Pega a derivada encontrada no item (a) e substitui o valor de x

                                $$ f'(x) = \frac{-1}{2x^{\frac{3}{2}}}$$
                                $$f'(x) = \frac{-1}{2(4)^{\frac{3}{2}}}$$
                                $$f'(x) = \frac{-1}{2(2^{2})^{\frac{3}{2}}}$$
                                $$f'(x) = \frac{-1}{2*2^{3}}$$
                                $$f'(x) = \frac{-1}{2^{4}}$$
                                $$f'(x) = \frac{-1}{16}$$

Substitui o valor encontrado para descobrir a equação da reta

                              $$f'(x) = \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}$$
                              $$\frac{-1}{16} = \frac{y - \frac{1}{2}}{x - 4}$$
                              $$\frac{-1}{2} = \frac{-1}{16}(x - 4)$$
                              $$y - \frac{1}{2} = \frac{-1}{16}x +\frac{1}{4}$$
                              $$\frac{1}{16}x - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} +y = 0$$
                              $$\frac{1}{16}x+y-\frac{3}{4} = 0$$

(c) Faça o gráfico da curva e de ambas as tangentes em uma mesma tela.

Questão 33- Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso.

Solução :
                        $$\lim_{h\rightarrow0}\frac{(1+h)^{10}-1}{h}$$
                        $$f'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(1+h)^{10}-1}{h}$$

Logo:              $$f(x)=x^{10};x=1$$