04.
a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva $ y = x - x^3 $ no
ponto (1,0)
(i) usando a Definição 1.
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac {f(x) - f(a)}{x-a} $$
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x-x^3 - 0}{x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x-x^3}{x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x(1-x^2)}{x-1} $$
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x(1+x)(1-x)}{x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x(-(-1+x)(1+x))}{x-1} $$
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow 1} -x(1+x) = -1(1+1) = -1(2)$$
$ m = -2 $
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac {f(x) - f(a)}{x-a} $$
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x-x^3 - 0}{x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x-x^3}{x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x(1-x^2)}{x-1} $$
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x(1+x)(1-x)}{x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac {x(-(-1+x)(1+x))}{x-1} $$
$$ m = \lim\limits_{x \rightarrow 1} -x(1+x) = -1(1+1) = -1(2)$$
$ m = -2 $
(ii) usando a Equação 2.
$ m = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h} $
$$ m = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {[(1+h)-(1+h)^3] -0}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {1+h-(1+3h+3h^2+h^3)}{h} $$
$$ m = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {-h^3-3h^2-2h}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {-h(-h^2-3h-2)}{h} $$
$$ m= \lim\limits_{h \rightarrow 0} -h^2-3h-2 $$
$$ m=-2 $$
$ m = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)}{h} $
$$ m = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {[(1+h)-(1+h)^3] -0}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {1+h-(1+3h+3h^2+h^3)}{h} $$
$$ m = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {-h^3-3h^2-2h}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {-h(-h^2-3h-2)}{h} $$
$$ m= \lim\limits_{h \rightarrow 0} -h^2-3h-2 $$
$$ m=-2 $$
b) Encontre a equação da reta tangente da
parte (a).
$ y-f(a) = (f'(a))(x-a) $
$ y-f(1) = (f'(1))(x-1) $
$ y-0 = -2(x-1) $
$ y=-2x+2 $
c) Faça um gráfico da curva da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados nos pontos (1,0) até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
$ y-f(a) = (f'(a))(x-a) $
$ y-f(1) = (f'(1))(x-1) $
$ y-0 = -2(x-1) $
$ y=-2x+2 $
c) Faça um gráfico da curva da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados nos pontos (1,0) até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
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