Atividade 2 - Q 12 e 36 (Aline Cristina)

12- Defina a derivada f′(a). Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.

Resposta:

Derivada de uma função para um número a:

A derivada de uma função f para um número a, denotado por f´(a), é

$$fl(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h) – f(a)}{h}$$, se o limite existe.

          Uma forma de interpretar f´(a) é que a reta tangente de y=f(x) em  (a, f(a)) é a linha através de (a, f(a)) cuja inclinação é igual a f´(a), a derivada de f em a.

Outra forma de interpretar f´(a)  é que ela é a taxa instantânea de mudança de y=f(x) em relação a x quando x=a.

 Então:

$$f´(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$


Questão 36

Encontre as equações de retas tangentes à curva $$y=\frac{2}{1-3x}$$ nos pontos de abscissas 0 e − 1.

Resposta:

Primeiramente, encontramos a derivada da função.

$$f´(x) = \lim _ {h\rightarrow0}\frac {f(x+h) – f(x)}{h}$$

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{2}{1-3(x-h)}-\frac{2}{1-3x}}{h}$$

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2(1-3x)-[1-3(x+h)]}{h(1-3x)[1-3(x+h)]}$$

$$=\lim _ {h\rightarrow0}\frac {2-6x-2-6x+6h}{h(1-3x)[1-3(x+h)]}$$

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{6}{(1-3x) [1-3(x+h)]}$$

$$=\frac {6}{(1-3x)^2}$$

Para x=0, 

$$f(0)=\frac{2}{1}=2$$

A inclinação da reta tangente f´(0)=6.

A equação da tangente em  (0,2) é

$$y-2=6(x-0)$$

$$y=6x+2$$

Para x=-1,

$$f(-1)=\frac{2}{1+3}$$

$$=\frac{1}{2}$$

A inclinação da reta tangente 

$$f´(-1)=\frac{6}{1-3}^2$$

$$=\frac{3}{8}$$

Então a equação da tangente em $${({-1},\frac{1}{2})}$$

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{8}(x+1)$$

$$y=\frac{3}{8} x+\frac{7}{8}$$