Atividade 2 - Questões 25 e 35 (Robson Santos)

Questão 25

Demonstre cada afirmação usando a definição precisa de limite.
$$ \lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4 $$

Resposta

Dado$$  \varepsilon > 0$$  , precisamos comparar$$  \delta > 0$$  de modo que  $$ 0 <|x-2 |<\delta $$ , então  $$ |(14- 5x)- 4| <\varepsilon $$. Mas $$ |(14- 5x)- 4| < \varepsilon \Leftrightarrow |-5x + 10| < e \Leftrightarrow  |-5| |x- 2| < e \Leftrightarrow  | x- 2| < \varepsilon /5$$.  Então , se escolhermos $$ \delta  = \varepsilon /5 $$ , então $$0 < |x- 2| < \delta  \Rightarrow |(14-5x)- 4| <\varepsilon $$ . Portanto , $$ \lim_{h\rightarrow 2}(14-5x)= 4 $$ é a definição do limite.



Questão 35

(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 9 - 2 x² no ponto (2,1).
(b) Encontre uma equação dessa reta tangente.

Respostas

A_

A inclinação da reta tangente em (2,1) é :

$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}  $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{9-2x^2-1}{x-2}  $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{8-2x^2}{x-2}  $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x^2-4)}{x-2}  $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}\frac{-2(x-2)(x+2)}{x-2}  $$
$$ f'(x)= \lim_{h\rightarrow 2}{[-2(x+2)}] = -2 *4 = -8 $$


B_

A equação dessa reta tangente é :$$ y- 1 = -8(x- 2) $$ ou $$y = -8x + 17$$